Ce cours est consacré aux systèmes hyperboliques de lois de conservation dont l'exemple le plus représentatif (qui sera traité en détail dans le cours) est celui des équations de la dynamique des gaz. Le cours développera à la fois des aspects théoriques et numériques. Chaque séance comprendra une partie théorique et une partie numérique. Le plan du cours est donc double et sera suivi en parallèle.

1. Introduction à l'analyse théorique: lois de conservation et équations aux dérivées partielles du 1er ordre, exemples et motivation physique, hyperbolicité des systèmes, explosion en temps finie des solutions régulières, notion de solutions faibles, condition de saut de Rankine-Hugoniot, chocs et détentes, condition d'entropie.
2. Analyse théorique des équations scalaires : existence et unicité, théorème de Kruzkov, problème de Riemann
3. Analyse théorique des systèmes hyperboliques : entropie, symétrisation, systèmes linéaires à coefficients constants, définition des types d'ondes, champs vraiment non linéaire et linéairement dégénéré, critère de Lax, problème de Riemann.
4. Dynamique des gaz : entropie et thermodynamique, modèle isentropique, formulation lagrangienne, résolution du problème de Riemann.

1. Introduction à l'analyse numérique : méthodes de différences finies, stabilité, consistance et précision des schémas, schémas conservatifs, théorème de Lax-Wendroff.
2. Schémas numériques pour les équations scalaires : méthode de Godunov en 1-D, schémas monotones et entropiques, schémas TVD d'ordre 2, méthode de Van Leer.
3. Schémas numériques 1-D pour les systèmes : schémas centrés, à décomposition de flux, de type Godunov avec solveur exact ou approché du problème de Riemann, schéma de Roe, ordre 2 et méthode de Van Leer.
4. Volumes finis multi-dimensionnels : définition et implémentation numérique, traitement des termes sources, implicitation en temps, termes diffusifs, conditions aux limites.

Dernière mise à jour : lundi 8 avril 2013